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勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
[版面:史海钩沉][首篇作者:FoxMe] , 2021年09月18日14:51:11 ,1254次阅读,32次回复
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标  题: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Sep 18 14:51:11 2021, 美东)

图见原帖:

http://blog.sina.com.cn/s/blog_551bf6350101allc.html


  中国成书于公元前1世纪的《周髀算经》对勾股定理应用的记载为迄今所见存世最
早:“昔者周公(注:公元前11世纪周武王的大臣)问于商高(注:学者)曰:‘窃闻
科大夫善数也,请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数
安从出?’商高曰:‘数之法,出于方圆。圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。
故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五
。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。’”

  基于上述渊源,中国学者一般把此定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。

  商高的回答实际上是对勾股定理的最早几何证明,赵爽评价这个陈述“将以施于万
事,而此先陈其率也”,汉文化中习惯性以“一生二、二生三、三生万物”、“九九归
一”来概括一切现象,而“勾三股四弦五”正是这种文化习惯的表现,只有一般性证明
之后才能找到这样的特例。这个证明过程,一直被错误地被认为是一个经验性代入数描
述,其证明方法“积矩法”的名称也一直未能得到正名,则是对于这种语言习惯的理解
偏差。

  试译之:将一个长方形对角折叠得到两个直角三角形,比如矩形宽三为勾,长四为
股,则像墙角一样的折痕为直角三角形的弦,其长必五,(为什么不是5.01或者4.99呢
?如果说《周髀算经》的表述为特例表述,那么到这里就已经结束了,因为 32+42=52
已经无需证明了)这不是一个测量出来的经验值,试证之:先将矩形勾边和股边外引正
方形,复制折痕的外半边矩形,弦边首尾相接环成一个边长为三加四等于七的大正方形
“共盘”,这个“共盘”内接三个分别为勾、股、弦为边的正方形,简称勾方、股方、
弦方,边长分别为三、四、五,其中勾方九加股方十六和为二十五,与“共盘”内接的
积弦为方的矩形面积相等(这个内接弦方的面积等于“共盘”减去用来“环而共盘”的
四个三角形,即七七四十九减三四一十二除以二乘以四,等于四十九减二十四,得二十
五)。

  剔除特例用纯数学语言描述即:将一个矩形对角折叠得到两个直角三角形,矩形宽
为勾,长为股,则像墙角一样的折痕为直角三角形的弦。先将矩形勾边和股边外引正方
形,复制折痕的外半边矩形,勾股交错首尾相接环成一个大正方形“共盘”,边长为勾
股之和,这个“共盘”内接三个分别为勾、股、弦为边的正方形,简称勾方、股方、弦
方。其中勾方加股方为“共盘”减去两个原始矩形,弦方面积为大正方形“共盘”减去
用来“环而共盘”的四个前面折叠所得三角形,积为两个原始矩形。这样勾方股方之和
与弦方均为“共盘”减去四个直角三角形累积成的两个原始矩形,即勾方股方和等于弦
方。这就是所谓的“积矩”,如图1。

  这显然是一个放之四海而皆准的一般性证明,不能因为不懂得文言的描述习惯,而
刻舟求剑地怀疑古人的智慧。犹如“九九乘法表”,“九九”二字涵盖一切,显然古人
并不只知道“九九八十一”,他们对于“三七二十一”也不陌生。

  赵爽约在222年深入研究了《周髀算经》,为该书写了序言,并作了详细注释。其
中一段530余字的“勾股圆方图”注文给出了另外一种证明方法,这个证明被认为是中
国数学史上见诸文献的最早的一般性证明。


  他将勾股定理表述为:“勾股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦。”

  证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之
差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实。”这个叙述很明确地将自己的证明归结为“又
”,即商高基础上的另一种证明法。

  翻译出来就是:如图2,用勾(a)和股(b)相乘(a×b)等于两块红色三角形的
面积,乘以二(2ab)即为四块红色三角形的面积,以勾(a)股(b)的差(b-a)再平
方即为中间的黄色正方形,所有四个红色三角形的面积加这个黄色正方形的面积,即为
弦(c)为边长的正方形的面积。

  数学表达式为:c2=(a-b)2+2ab=a2+b2-2ab+2ab=a2+b2

  41年后,三国时代魏国的数学家刘徽在魏景元四年(即公元 263 年)为古籍《九
章算术》作注释。也提出了一个勾股定理的证明,用的以形证数的方法,刘徽的证明原
也有一幅图,可惜图已失传,只留下一段文字:“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出
入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂,开方除之,即弦也。”

  后人根据这段文字补了一张图,如图3。大意是:直角三角形,以勾为边的正方形
为朱方,引弦为正方形切割朱方和青方,多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补。
弦方再开方即为弦长。


  后人这个补图无疑是非常符合刘徽的文字描述,但笔者发现,直接用赵爽的弦图,
一样可以得出青朱出入相补证明勾股定理,如图4,此法仅仅使用了两块三角形出入相
补,无需额外画出弦方,弦图补青朱法可能是刘徽证明更为直接的原型。


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标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Sep 18 22:50:36 2021, 美东)

以后copy and paste之前记得看一遍自己的贴子,不要再犯类似“因为 32+42=52已经
无需证明了”这种明显的错误。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 图见原帖:
: http://blog.sina.com.cn/s/blog_551bf6350101allc.html
:   中国成书于公元前1世纪的《周髀算经》对勾股定理应用的记载为迄今所见存世最
: 早:“昔者周公(注:公元前11世纪周武王的大臣)问于商高(注:学者)曰:‘窃闻
: 科大夫善数也,请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数
: 安从出?’商高曰:‘数之法,出于方圆。圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。
: 故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五
: 。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。’”
:   基于上述渊源,中国学者一般把此定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。
:   商高的回答实际上是对勾股定理的最早几何证明,赵爽评价这个陈述“将以施于万
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标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 19 00:11:47 2021, 美东)

类似的文章你都发了好几次了,可惜你,包括这次,没有一次,提供了足够证据证明中
国古代给出了勾股定理的一般性证明。

你今天发的这篇最多只能算是证明了中国古代给出了“勾三股四弦五”的一般性证明,
但这离勾股定理的一般性证明还差得远呢。就算是“勾三股四弦五”的一般性证明,古
人的证明也依然不严谨,和欧几里得的证明根本不在一个水平上。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 图见原帖:
: http://blog.sina.com.cn/s/blog_551bf6350101allc.html
:   中国成书于公元前1世纪的《周髀算经》对勾股定理应用的记载为迄今所见存世最
: 早:“昔者周公(注:公元前11世纪周武王的大臣)问于商高(注:学者)曰:‘窃闻
: 科大夫善数也,请问古者包牺立周历度。夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数
: 安从出?’商高曰:‘数之法,出于方圆。圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。
: 故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五
: 。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。’”
:   基于上述渊源,中国学者一般把此定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。
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发信人: bobolan88 (波波熊), 信区: History
标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 19 00:24:11 2021, 美东)

说说欧几里得为啥更严谨

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 类似的文章你都发了好几次了,可惜你,包括这次,没有一次,提供了足够证据证明中
: 国古代给出了勾股定理的一般性证明。
: 你今天发的这篇最多只能算是证明了中国古代给出了“勾三股四弦五”的一般性证明,
: 但这离勾股定理的一般性证明还差得远呢。就算是“勾三股四弦五”的一般性证明,古
: 人的证明也依然不严谨,和欧

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标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 19 09:19:55 2021, 美东)

SB洋奴果然思维能力低,你看不懂证明不等于别人看不懂。正常人都知道是3^2+4^2=5^
2。

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 以后copy and paste之前记得看一遍自己的贴子,不要再犯类似“因为 32+42=52已经
: 无需证明了”这种明显的错误。





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※ 修改:·FoxMe 於 Sep 19 09:23:59 2021 修改本文·[FROM: 82.]
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标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 19 09:21:53 2021, 美东)

事实上商高的证明比”欧几里得“的更为简洁。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 说说欧几里得为啥更严谨
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标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 19 10:11:38 2021, 美东)

证明正确的基础上再谈简洁,才有意义。你考试交白卷,再简洁也不过了,难道教授能
让你过了?事实上,没人知道商高是怎么证明的,自然更无法判断证明的正确与否。就
算商高证明正确,他也是在证明勾股定理的一个特例。特例证明比一般性证明要简单得
多,当然过程也会简洁,这难道不是常识吗?

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 事实上商高的证明比”欧几里得“的更为简洁。



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标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 19 10:15:45 2021, 美东)

阅读别人文章是帮自己省时间的,结果读你的文章,还要帮你校对,向你指出后,你却
丝毫没有歉意,说明你不但专业知识水平不够,连做人的基本道德也欠缺了。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: SB洋奴果然思维能力低,你看不懂证明不等于别人看不懂。正常人都知道是3^2+4^2=
5^
: 2。



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发信人: novawt (novawt), 信区: History
标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 19 10:18:17 2021, 美东)

欧几里得的证明在几何原本里。勾股定理不是一个显见的定理,需要其它公理定理的辅
助才能完成证明,这些公里定理都在几何原本里,所以说欧几里得更严谨。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 说说欧几里得为啥更严谨
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※ 修改:·novawt 於 Sep 19 10:18:46 2021 修改本文·[FROM: 104.]
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发信人: bobolan88 (波波熊), 信区: History
标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 19 13:16:30 2021, 美东)

按楼主的帖子 上高的证明是个通用形式 不只是三四五

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 证明正确的基础上再谈简洁,才有意义。你考试交白卷,再简洁也不过了,难道教授能
: 让你过了?事实上,没人知道商高是怎么证明的,自然更无法判断证明的正确与否。就
: 算商高证明正确,他也是在证明勾股定理的一个特例。特例证明比一般性证明要简单得
: 多,当然过程也会简洁,这难道不是常识吗?



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发信人: novawt (novawt), 信区: History
标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 19 13:37:55 2021, 美东)

楼主这种话也就是他一说,你一乐,就完了。以下是商高原话,证明过程中涉及到具体
数字的话,还会是一般性证明吗?

“以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩
共长二十有五,是谓积矩”

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 按楼主的帖子 上高的证明是个通用形式 不只是三四五
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发信人: kongkong00 (kongkong), 信区: History
标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 19 19:06:59 2021, 美东)

赞同。我也一直怀疑,就是一个345,怎么就涵盖了a2+b2=c2的一般规律?非得加上
一个中国不比你差的勾股标签。

扯一句别的,韩国人是有他们的问题,但看到众多国人嘲笑他们的同时,自己何尝不是
如此呢?在每个民族主义强烈不理性的人眼里,别人都是值得嘲笑的。


【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 类似的文章你都发了好几次了,可惜你,包括这次,没有一次,提供了足够证据证明中
: 国古代给出了勾股定理的一般性证明。
: 你今天发的这篇最多只能算是证明了中国古代给出了“勾三股四弦五”的一般性证明,
: 但这离勾股定理的一般性证明还差得远呢。就算是“勾三股四弦五”的一般性证明,古
: 人的证明也依然不严谨,和欧几里得的证明根本不在一个水平上。



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发信人: bobolan88 (波波熊), 信区: History
标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Sep 19 23:16:29 2021, 美东)

数之法 外半其一矩,环而共盘 此数之所生也
按楼主文中的推理分析,上面这些话有更多内涵,含有通用证明形式,不只是345个例
。古文载体竹木简不便画图记录。楼主分析的是不是合理另说,但是不能简单说楼主硬
把345个例当成通用证明。

商高曰:‘数之法,出于方圆。圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。
故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五
。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。’”

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 楼主这种话也就是他一说,你一乐,就完了。以下是商高原话,证明过程中涉及到具体
: 数字的话,还会是一般性证明吗?
: “以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩
: 共长二十有五,是谓积矩”



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标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Sep 20 00:28:06 2021, 美东)

如果不是勾三股四弦五,而是任意边长的直角三角形,用商高的方法(虽然没人知道他
的方法是什么)环而共盘,也能“得成三四五”,那才叫通用证明。

很明显,即使根据今人猜测的方法,直角三角形边长任意的话,环而共盘,是不能必然
“得成三四五”的。
【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 数之法 外半其一矩,环而共盘 此数之所生也
: 按楼主文中的推理分析,上面这些话有更多内涵,含有通用证明形式,不只是345个例
: 。古文载体竹木简不便画图记录。楼主分析的是不是合理另说,但是不能简单说楼主硬
: 把345个例当成通用证明。
: 商高曰:‘数之法,出于方圆。圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。
: 故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五
: 。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。’”



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标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Sep 20 00:44:36 2021, 美东)

其实只要把商高的勾三股四弦五这个特例叫勾股定理,而把直角边平方和等于斜边平方
叫毕达哥拉斯定理,就能避免混淆概念,也可以理直气壮地说中国古人证明了勾股定理
了。

【 在 kongkong00 (kongkong) 的大作中提到: 】
: 赞同。我也一直怀疑,就是一个345,怎么就涵盖了a2+b2=c2的一般规律?非得加上
: 一个中国不比你差的勾股标签。
: 扯一句别的,韩国人是有他们的问题,但看到众多国人嘲笑他们的同时,自己何尝不是
: 如此呢?在每个民族主义强烈不理性的人眼里,别人都是值得嘲笑的。



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发信人: bobolan88 (波波熊), 信区: History
标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Sep 20 00:46:44 2021, 美东)

这个让楼主来答疑吧 不过楼主可能觉得楼贴已经说清楚了

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 如果不是勾三股四弦五,而是任意边长的直角三角形,用商高的方法(虽然没人知道他
: 的方法是什么)环而共盘,也能“得成三四五”,那才叫通用证明。
: 很明显,即使根据今人猜测的方法,直角三角形边长任意的话,环而共盘,是不能必然
: “得成三四五”的。



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标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Sep 20 00:54:40 2021, 美东)

那就是楼主的问题了
【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 这个让楼主来答疑吧 不过楼主可能觉得楼贴已经说清楚了
: ★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.5



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Roshou16
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发信人: Roshou16 (肉手儿), 信区: History
标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Sep 20 04:22:49 2021, 美东)

祖宗牛逼,之后逐渐不行,更说明文化排斥创新,需要自我修正。而不应该一味的为祖
宗自豪,抱着祖宗做中国梦。五毛们觉得呢?

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FoxMe
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发信人: FoxMe (FoxMe), 信区: History
标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Sep 20 11:22:43 2021, 美东)

属实,原帖是2013年的,动图做得很好。去年我自己找资料,得到相同的结论。

商高的证明不仅更巧妙,而且比“欧几里得”要早七八百年。
思维能力差的洋奴没法理解不奇怪。这些垃圾不仅反中,而且反智。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 这个让楼主来答疑吧 不过楼主可能觉得楼贴已经说清楚了
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※ 修改:·FoxMe 於 Sep 20 11:25:19 2021 修改本文·[FROM: 82.]
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novawt
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发信人: novawt (novawt), 信区: History
标  题: Re: 勾股定理证明中商高“积矩图”与刘徽“青朱出入图”(转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Sep 20 13:59:54 2021, 美东)

商高的证明当然“巧妙”咯,因为整个就是一个循环论证。他在设定条件时,已经确定
一个直角三角形三边长分别是3、4和5了,而这三个数已经符合勾股定理里平方和相等
这个关系了。那接下来随便怎么环而共盘,必然还能再次证明勾股定理。

如果商高条件中设定直角三角形边长为3,4,6,那环而共盘的结果,就是勾股定理不
成立,因为3^2 + 4^2 不等于6^2。

当然如果条件中设的是3、4、6,环而共盘的结果是摆不出一个大正方形。但商高,包
括使劲在那里帮商高脑补的今人,包括你在内,证明过什么情况下能摆出一个大正方形
吗?你们这些人看出商高证明过程中逻辑上的漏洞了吗?


就你这水平,说出”去年我自己找资料,得到相同的结论”,只能再次暴露你连初中水
平的几何证明都看不懂。

如果要按商高的方法证明勾股定理,正确的方法是先假定直角三角形两边为3和4,证明
第三边为5。或者先假设三角形三边为3、4和5,再去证明是直角三角形。

学习几何是训练人逻辑思维能力的过程,而从你和你的同道的水平可知从古至今逻辑都
不是很多国人的强项。


【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 属实,原帖是2013年的,动图做得很好。去年我自己找资料,得到相同的结论。
: 商高的证明不仅更巧妙,而且比“欧几里得”要早七八百年。
: 思维能力差的洋奴没法理解不奇怪。这些垃圾不仅反中,而且反智。






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※ 修改:·novawt 於 Sep 20 23:28:19 2021 修改本文·[FROM: 198.]
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