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一道很有意思的概率题 (转载)
[版面:大脑工作室][首篇作者:rungriffin] , 2010年03月29日17:49:27 ,1642次阅读,12次回复
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rungriffin
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发信人: rungriffin (tobe,nottobe), 信区: BrainTeaser
标  题: 一道很有意思的概率题 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Mar 29 17:49:27 2010, 美东)

【 以下文字转载自 JobHunting 讨论区 】
发信人: swanking (TJ Max), 信区: JobHunting
标  题: 一道很有意思的概率题
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Mar 29 16:54:30 2010, 美东)

三个小伙子同时爱上了一个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用手枪进行
一次决斗。A的命中率是30%,B命中率是50%,C从不失误,命中率是100%。由于这个
显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:A先开枪,B第二,C最后。然
后这样循环,直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢?他们都
应该采取什么样的策略?
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OhRe
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发信人: OhRe (Re), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 一道很有意思的概率题 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Mar 29 19:18:51 2010, 美东)

31, 34, 35
【 在 rungriffin (tobe,nottobe) 的大作中提到: 】
: 【 以下文字转载自 JobHunting 讨论区 】
: 发信人: swanking (TJ Max), 信区: JobHunting
: 标  题: 一道很有意思的概率题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Mon Mar 29 16:54:30 2010, 美东)
: 三个小伙子同时爱上了一个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用手枪进行
: 一次决斗。A的命中率是30%,B命中率是50%,C从不失误,命中率是100%。由于这个
: 显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:A先开枪,B第二,C最后。然
: 后这样循环,直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢?他们都
: 应该采取什么样的策略?



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hero080
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发信人: hero080 (APM=080), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 一道很有意思的概率题 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Mar 30 20:02:25 2010, 美东)

算起来挺麻烦的。

首先两个人的策略:
甲乙决斗,甲先开枪,甲的命中率为p,乙的命中率为q,显然甲的最佳策略为开枪打乙。
设甲的存活率为f(p,q),则有:
1. 甲打中了,此种情况有p的概率发生,发生后一定存活。
2. 甲没打中,此种情况有(1-p)的概率发生,发生后存活概率为1 - f(q,p) (因为轮
到乙开枪了)
所以:
f(p,q) = p + (1-p) * (1 - f(q,p)
这样可以解出来:
f(p,q) = p / (p + q - pq)

然后看本题:

a. 三人存活时A先射击,有三种结果
I.   B被干掉。此种结果下C接下来肯定会打死A,A的存活率为0
II.  C被干掉。此结果下B先开枪对决A,A存活率为1 - f(0.5, 0.3) = 3/13
III. 没干掉人。此结果下A的存活率见下面b.

b. 三人存活时B先射击,有三种结果:

I.   C被干掉。此种结果下B存活率为A先开枪对决B,B的存活率为1 - f(0.3, 0.5) =
7/13
II.  A被干掉。此种结果下B存活率为0
III. 没干掉人。此结果下B的存活率见下面c.

c. 三人存活时C先射击,三种结果:
I.   A被干掉。此种结果下C存活率为B先开枪对决C,C的存活率为1 - 0.5 = 0.5
II.  B被干掉。此种结果下C的存活率为A先开枪对决C,C的存活率为1 - 0.3 = 0.7
III. 没干掉人。此结果下C的存活率见a.

合理的假设是游戏总是要结束的,所以不能所有人总是结果III。则可以看到三人存活
时C的策略必然是打B。这样一来,三人存活时B的策略只能是打C。两种结果:
一,50%可能B干掉C。此后B活率为7/13,A活率6/13
二,50%可能B没干掉C。此后B必死,变成cII的情况,A存活率为0.3
平均来说,A存活率为(6/13 + 0.3)/2 = 99/260
此时来看A,会发现对A最好的情况是aIII。所以A会朝天开枪

最后,A存活率99/260, B存活率70/260,C存活率91/260
【 在 rungriffin (tobe,nottobe) 的大作中提到: 】
: 【 以下文字转载自 JobHunting 讨论区 】
: 发信人: swanking (TJ Max), 信区: JobHunting
: 标  题: 一道很有意思的概率题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Mon Mar 29 16:54:30 2010, 美东)
: 三个小伙子同时爱上了一个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用手枪进行
: 一次决斗。A的命中率是30%,B命中率是50%,C从不失误,命中率是100%。由于这个
: 显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:A先开枪,B第二,C最后。然
: 后这样循环,直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢?他们都
: 应该采取什么样的策略?


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rodney
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发信人: rodney (||), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 一道很有意思的概率题 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Apr  2 12:08:32 2010, 美东)

这道题,10多年前的了。。。

【 在 rungriffin (tobe,nottobe) 的大作中提到: 】
: 【 以下文字转载自 JobHunting 讨论区 】
: 发信人: swanking (TJ Max), 信区: JobHunting
: 标  题: 一道很有意思的概率题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Mon Mar 29 16:54:30 2010, 美东)
: 三个小伙子同时爱上了一个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用手枪进行
: 一次决斗。A的命中率是30%,B命中率是50%,C从不失误,命中率是100%。由于这个
: 显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:A先开枪,B第二,C最后。然
: 后这样循环,直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢?他们都
: 应该采取什么样的策略?



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crazygiant
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发信人: crazygiant (Shanhan), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 一道很有意思的概率题 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Apr  4 19:00:22 2010, 美东)

自己想的,相信是正解:  
    思路:从第一次A射击开始,事件进程会有分叉,每一个分叉发生的概率不同,取
决于射击者的命中率。
    在一次枪击事件中,作为靶子的人的绝对存活概率(指相对于整个枪击事件)为: 此次枪击发生的概率*(1-枪手命中率)。
    把每个人在所有可能分叉中的绝对存活率累加,就是这个人的最后存活率。因为肯定有一个人最后会活着,所有三个人的存活率相加必为1.

    因为AB都可能不命中。发生在AB之间的枪击可能会一直循环下去。因此先讨论AB之
间的状况。 套用上面的一次枪击存活率公式,我是用matlab做了个循环,结果:
    A先打B: A 存活率 46.15%  B 53.85%
    B先打A: A 存活率 23.08%  B 76.92% (用hero080的公式算更简单,偶土人,想不到那么高)

   开始正式讨论3人过程,先说A不放空枪,瞄人。 则A只能选择打C。因为A如果没打中,瞄的是谁没有
区别,如果打中了,打得是B,则下轮A必死;打中C,A尚有机会。
   
   A打C,若A命中,概率30%,C死,下轮B打A,按上所述,最终在这一分叉里,A存活率:30%
* 23.08%=6.924%  B:30%* 76.92%= 23.076%   C:0% 
   若A不中,概率70%,下轮B打,B也只能打C,原因同上。
     若B中,总发生概率70%*50%=35%,C死,下轮A打B,套用上面结果,最终在这一分
叉里, A存活率:35%* 46.15%=16.1525%  B:35%* 53.85%= 18.8475%   C:0% 
     若B不中,总发生概率70%*50%=35%。下轮C打B(必须的),B死。再下轮A打C,命
中率30%,打不中则A死,此分叉里 A存活率:35%* 30%=10.5%  B:0%   C:24.5%   
 
   全部累加: A 33.5765%, B 41.9235%, C 24.5%

若A第一轮故意放空,则A不中概率100%, 套用上面的计算,A 存活率变为 38.075%,
B 26.925%,  C 35%。  显然A首轮放空对自己更有利,而C是A放空最大收益者。 此为最终结果









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※ 修改:·crazygiant 於 Apr  5 00:13:15 2010 修改本文·[FROM: 129.49.]
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crazygiant
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发信人: crazygiant (Shanhan), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 一道很有意思的概率题 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  5 00:02:55 2010, 美东)

牛人,看了好几遍还是不太懂
【 在 hero080 (APM=080) 的大作中提到: 】
: 算起来挺麻烦的。
: 首先两个人的策略:
: 甲乙决斗,甲先开枪,甲的命中率为p,乙的命中率为q,显然甲的最佳策略为开枪打
乙。
: 设甲的存活率为f(p,q),则有:
: 1. 甲打中了,此种情况有p的概率发生,发生后一定存活。
: 2. 甲没打中,此种情况有(1-p)的概率发生,发生后存活概率为1 - f(q,p) (因为轮
: 到乙开枪了)
: 所以:
: f(p,q) = p + (1-p) * (1 - f(q,p)
: 这样可以解出来:
: ...................



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opt
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发信人: opt (恨雪), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 一道很有意思的概率题 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Jul 19 13:59:22 2010, 美东)

不错的题嘛
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wyxb222
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发信人: wyxb222 (Sarah Wang), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 一道很有意思的概率题 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Feb 24 14:19:30 2012, 美东)

大家回答的都很认真啊
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flymelody
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发信人: flymelody (flymelody), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 一道很有意思的概率题 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Jul 17 16:30:15 2013, 美东)

this one's great!

by shooting nobody, A suppress the probability of PK with B(B shoots first),
cuz AB PK, P(A win|A first) = 46%, but P(A win|B first) = 23%

【 在 rungriffin (tobe,nottobe) 的大作中提到: 】
: 发信人: swanking (TJ Max), 信区: JobHunting
: 标  题: 一道很有意思的概率题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Mon Mar 29 16:54:30 2010, 美东)
: 三个小伙子同时爱上了一个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用手枪进行
: 一次决斗。A的命中率是30%,B命中率是50%,C从不失误,命中率是100%。由于这个
: 显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:A先开枪,B第二,C最后。然
: 后这样循环,直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢?他们都
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tongyiquangu
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发信人: tongyiquangu (流感来了), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 一道很有意思的概率题 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jul 30 13:28:22 2013, 美东)

能先打死裁判吗?


【 在 rungriffin (tobe,nottobe) 的大作中提到: 】
: 发信人: swanking (TJ Max), 信区: JobHunting
: 标  题: 一道很有意思的概率题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Mon Mar 29 16:54:30 2010, 美东)
: 三个小伙子同时爱上了一个姑娘,为了决定他们谁能娶这个姑娘,他们决定用手枪进行
: 一次决斗。A的命中率是30%,B命中率是50%,C从不失误,命中率是100%。由于这个
: 显而易见的事实,为公平起见,他们决定按这样的顺序:A先开枪,B第二,C最后。然
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lunchbreak
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发信人: lunchbreak (考不上印度理工,才到麻省理工来), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 一道很有意思的概率题 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 28 02:17:25 2014, 美东)

三个人都朝天开枪,三个人生存概率都是1
或者C把A或者B中长得丑的打死,然后和剩下漂亮的捡肥皂。
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