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中学数学竞赛题,有包子 (转载)
[版面:大脑工作室][首篇作者:aOzu] , 2010年02月11日02:47:40 ,556次阅读,11次回复
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aOzu
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发信人: aOzu (zuzu), 信区: BrainTeaser
标  题: 中学数学竞赛题,有包子
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Feb 11 02:47:40 2010, 美东)

【 以下文字转载自 E-Sports 讨论区 】
发信人: YRH (GO CSP!), 信区: E-Sports
标  题: 中学数学竞赛题,有包子
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Feb 10 20:04:54 2010, 美东)

90接乘,最后2位非0的数字是什么。


--

※ 来源:·WWW 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 204.107.]

 
pcasnik
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发信人: pcasnik (pcasnik), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 中学数学竞赛题,有包子 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Feb 12 12:05:33 2010, 美东)

12

----- ----- ----- ----- -----
one simple approach can be found at:
http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/2010_AMC_12A_Problems/Problem_23
--

※ 修改:·pcasnik 於 Feb 16 20:58:52 2010 修改本文·[FROM: 75.34.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 99.32.]

 
crazygiant
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发信人: crazygiant (Shanhan), 信区: BrainTeaser
标  题: 解答完毕,准备领包子了
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Feb 13 02:23:57 2010, 美东)

  即使不是最简解答,不过靠手算完全可以算出来,申请包子!

第一步, 把90阶乘转化成90内所有质数的n次方的乘积
   如1-90内  能被2整除的45个,除过2后还能再被2整除的(就是能被4整除的)22个
,被8整除的11个,被16整除的5个。。。。。,   整个加起来, 45+22+11+5+2+1=86
即2^86
   被3整除的30个,被9整除的10个,27整除的3个,81整除的1个,共44,即3^44
以此类推,最终结果为:
   90!=2^86*3^44*5^21*7^13.......83*89

  然后分出2^21与5^21相乘,得到10^21,等同于1 ,消掉。  这一步是消除5的干扰,
也就是去掉乘积后面所有的0。 这一步后 剩下的数可以只取最后两位计算,倒数第三
位之前对最后两位无影响。

   注意到6在乘法中的独特性,即6*6相乘,个位不变,还是6(事实上6与任一偶数相乘,乘积结尾还是原偶数) 。 并且十位数,如果两
乘数的十位数奇偶相同,如36*56, 46*86, 结果为两十位数相加再加3后取个位。
  如36*56, 乘积的十位为   3+5+3-10=1,  所以乘积最后两位是16。26*46 乘积十位数为2+4+3=9

   如果奇偶不同,如16*26, 则十位数为两乘数的十位数相加后减2取个位(若两数相
加小于2,则先加10再减2)。 举例   16*66 =   1+6-2=  56    6*16= 0+1-2=  96

  掌握了这一规律,下一步就是把之前得到的乘式各项尽量转化成以6为结尾, 前两项2和3相
乘本身是6,已经满足,剩余的2可以用来把后面各项转化成以6结尾。 因为7后面的质
数都是奇数,均以1,3,7,9结尾。而3结尾的数最容易转化为6结尾,乘1个2即可。
所以在把多余的2分配给7后面各项之前,要先把后面各项互乘来达到优化整合,尽量转
化成以3结尾(如以7结尾*以9结尾可得3),计算时只计算最后2位即可,运算量不算很
大。 最后的结果只有很少几项结尾不是6,把这几项互乘只取最后两位。其余以6结尾各项, 套用
上面的6相乘规律,所有6结尾的项可以很容易合并成1项。剩下的最后两项相乘,是最后结果12。

--

※ 修改:·crazygiant 於 Feb 14 12:44:38 2010 修改本文·[FROM: 24.186.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 24.186.]

 
crazygiant
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发信人: crazygiant (Shanhan), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 中学数学竞赛题,有包子 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Feb 13 03:52:51 2010, 美东)

计算中还发现,26* X2  26*X6     26*Y4   26*Y8  
X 为奇数 1,3,5,7,9  Y 为偶数0,2,4,6,8,   乘积最后两位仍为后者。
但是没发现对解本题有帮助

--

※ 修改:·crazygiant 於 Feb 13 03:53:40 2010 修改本文·[FROM: 24.186.]
※ 来源:·WWW 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 24.186.]

 
hero080
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发信人: hero080 (APM=080), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 解答完毕,准备领包子了
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Feb 13 05:00:44 2010, 美东)

最后面有21个0
【 在 crazygiant (Shanhan) 的大作中提到: 】
:   即使不是最简解答,不过靠手算完全可以算出来,申请包子!
: 第一步, 把90阶乘转化成90内所有质数的n次方的乘积
:    如1-90内  能被2整除的45个,除过2后还能再被2整除的(就是能被4整除的)22个
: ,被8整除的11个,被16整除的5个。。。。。,   整个加起来, 45+22+11+5+2+1=
86
:  即2^86
:    被3整除的30个,被9整除的10个,27整除的3个,81整除的1个,共44,即3^44
:  以此类推,最终结果为:
:    90!=2^86*3^44*5^19*7^13.......83*89
:   然后分出2^19与5^19相乘,得到10^19,等同于1 ,消掉。  这一步是消除5的干扰,
: 也就是去掉乘积后面所有的0。 这一步后 剩下的数可以只取最后两位计算,倒数第三
: ...................

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crazygiant
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发信人: crazygiant (Shanhan), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 中学数学竞赛题,有包子 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Feb 13 13:53:53 2010, 美东)

演算到30!是7个0 没错。  再多我就不知道用matlab怎么显示了。

90!后面有19个0应该不会错。
谁给个办法显示 90!的全位数?
--

※ 来源:·WWW 未名空间站 海外: mitbbs.com 中国: mitbbs.cn·[FROM: 24.186.]

 
hero080
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发信人: hero080 (APM=080), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 中学数学竞赛题,有包子 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Feb 13 19:37:33 2010, 美东)

这种东西怎么能用matlab呢……用mathematica呀。
30!后面是7个0,当然没错。但90!后面就是21个0了。

90!=

1485715964481761497309522733620825737885569961284688766942216863704985393094
065876545992131370884059645617234469978112000000000000000000000
【 在 crazygiant (Shanhan) 的大作中提到: 】
: 演算到30!是7个0 没错。  再多我就不知道用matlab怎么显示了。
: 90!后面有19个0应该不会错。
: 谁给个办法显示 90!的全位数?


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发信人: crazygiant (Shanhan), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 中学数学竞赛题,有包子 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Feb 14 12:41:07 2010, 美东)

确实是21位,上次算是漏算了50,和75

18个5的倍数,加3个 25的倍数,   =21 
【 在 hero080 (APM=080) 的大作中提到: 】
: 这种东西怎么能用matlab呢……用mathematica呀。
: 30!后面是7个0,当然没错。但90!后面就是21个0了。
: 90!=

:
1485715964481761497309522733620825737885569961284688766942216863704985393094
: 065876545992131370884059645617234469978112000000000000000000000



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发信人: kirklanda (kirkland), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 中学数学竞赛题,有包子 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Feb 14 13:50:02 2010, 美东)

我在E-Sports贴的解法,帮我看看.

解法分两部分,第一部分 消5, 第二部分求省下的最后两位
首先给90个数字分类(10,20,30….就简化为1,2,3,..9了)
第一类
1,2,3,4,6,7,8,9 (来自10,20…90)
1,2,3,4,6,7,8,9
11,12,13,14,16,17,18,19
…….
81,82,83,84,86,87,88,89
第二类 5(来自50),5,15,25,35,45,55,65,75,85
对于第二类要有足够的2来配对来消零.

先看第一类,我用了一个规律(可以很容易证明)对于i+j=10的时候, 10n+i和10n+j的积
的最后两位为i*j, 比如33*37,53*57的最后两位都为3*7=21
这样第一类的积就简化了,首先我要拿出4个数用来和第二类配对,32 38 64 66
这样对于第一类数, 1*9有9次,3*7有9次, 4*6,2*8各8次
所以他们积的最后两位为9^9*21^9*24^8*16^8的最后两位
进一步为(9*21)^9*(24*16)^8=89*(89*84)^8, 只计最后2位
注意89*84最后两位为76,而76任意次方最后两位永远是76
所以最后两位为89*76最后两位=64

下面看剩下的带5的,25,75需要2个2,其他需要1个2,一共需要12个2
用来配对的32,64,38,66去掉12个2以后为19*66
对于5,消掉之后为1,1,3,1,7,9,11,13,3,17
所以最后两位为3,3,7,9,11,13,17,19,66的积的最后两位(可以再用一次配对比如13*17)
最后得到 结果为58
最终结果为64*58的最后两位=12

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crazygiant
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发信人: crazygiant (Shanhan), 信区: BrainTeaser
标  题: Re: 中学数学竞赛题,有包子 (转载)
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Feb 14 18:50:24 2010, 美东)

很强大 ,比我的方法简便多了
【 在 kirklanda (kirkland) 的大作中提到: 】
: 我在E-Sports贴的解法,帮我看看.
: 解法分两部分,第一部分 消5, 第二部分求省下的最后两位
: 首先给90个数字分类(10,20,30….就简化为1,2,3,..9了)
: 第一类
: 1,2,3,4,6,7,8,9 (来自10,20…90)
: 1,2,3,4,6,7,8,9
: 11,12,13,14,16,17,18,19
: …….
: 81,82,83,84,86,87,88,89
: 第二类 5(来自50),5,15,25,35,45,55,65,75,85
: ...................



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